LE SYSTÈME DÉCIMAL, LE SYSTÈME BINAIRE ET LE SYSTÈME HEXADÉCIMAL

LE SYSTÈME DÉCIMAL OU SYSTÈME DE BASE 10 Évidemment, vous le connaissez. Lisez néanmoins ces courts rappels pour mieux comprendre la suite. Le système décimal compte en dizaines (d'où le qualificatif de Base 10) et en unités. Ainsi le nombre : 4 3 8 2 s'interprète comme la somme, de droite à gauche, de :

2 unités = 8 dizaines soit 8×10 = 3 centaines, c'est-à-dire 3 dizaines de dizaines soit 3×10×10 = 4 milliers, c'est-à-dire 4 dizaines de dizaines de dizaines soit 4×10×10×10 = Total :

2 unités 80 unités 300 unités 4000 unités ––––––––– 4382 unités

Le système de base 10 utilise 10 chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9. Notez que 10 º = 1, que 10 ¹ = 10, que 10 ² = 100, que 10 ³ = 1000, etc., et que donc : 4382 = 2 × 10 º + 8 × 10 ¹ + 3 × 10 ² + 4 × 10 ³ LE SYSTÈME BINAIRE OU SYSTÈME DE BASE 2 Aux temps héroïques des premiers ordinateurs, bien avant l'apparition de l'homo billus gatus sur terre, toutes les formations à l'informatique commençaient par un cours sur le système binaire, qui à force est devenu une sorte d'épouvantail, réputation parfaitement injustifiée comme nous allons le voir. Alors que le système décimal compte en dizaines et en unités, le système binaire compte plus simplement en couples ou deuzaines (d'où le qualificatif de Base 2) et en unités. Ainsi le nombre : 1 1 0 1 s'interprète comme la somme, de droite à gauche, de :

1 unités = 0 couple soit 0×2 = 1 couple de couples, soit 1×2×2 = 1 couple de couples de couples soit 1×2×2×2 = Total :

1 unités 0 unités 4 unités 8 unités ––––––––– 13 unités

1101 en notation binaire vaut donc 13 en notation décimale. Si à ce stade vous pédalez dans la choucroute, c'est que vous n'avez pas lu attentivement la rubrique Système décimal ci-dessus – alors faites le ! Le système de base 2 utilise 2 chiffres : 0 et 1. Notez que 2 º = 1, que 2 ¹ = 2, que 2 ² = 4, que 2 ³ = 8, etc., et que donc : 1101 en notation binaire = en notation décimale 1 × 2 º + 0 × 2 ¹ + 1 × 2 ² + 1 × 2 ³ = 13 Quel rapport tout cela a-t-il avec l'informatique ? Un ordinateur, machine bête et méchante, ne sait pas compter jusqu'à 10. Ses divers supports ne connaissent tous que 2 états : chargé magnétiquement ou non pour un point donné d'un disque magnétique, aller à gauche ou à droite pour un branchement, creux ou pas creux pour un point donné d'un CD-ROM laser. En informatique, sur le plan du matériel, les seuls choix possibles sont oui ou non : le peut-être ou le couci-couça n'existent pas. Cette logique binaire fait que deux chiffres : 0 et 1, sont nécessaires mais suffisants pour traduire une situation donnée. Le plus perfectionné des logiciels que vous utilisez tout comme le guidage d'une sonde interplanétaire sont régis in fine par des 0 et des 1. Pour vous c'est bien sûr totalement transparent, puisque de nombreuses couches de programmes servent d'interprètes, dans les deux sens, entre vous et le langage strictement binaire des machines électroniques modernes. En informatique l'information élémentaire s'appelle un bit qui peut donc prendre la valeur 0 ou 1. Un octet (en anglais et donc en franglais byte, attention à ne pas confondre) est un assemblage de 8 bits. Un octet permet d'exprimer à l'aide de 0 et de 1 en tout 256 valeurs de 0 à 255 : – 00000000 en binaire soit 0 en décimal – 00000001 en binaire soit 1 en décimal – 00000010 en binaire soit 2 en décimal (de droite à gauche : 0 unité et 1 couple) – 00000011 en binaire soit 3 en décimal (1 unité et 1 couple) – 00000100 en binaire soit 4 en décimal (0 unité, 0 couple et 1 couple de couples) – . . . . . . . . . . . . – 11111110 en binaire soit 254 en décimal (0 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128) – 11111111 en binaire soit 255 en décimal (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128) pour afficher la table de conversion des nombres décimaux de 0 à 255 en nombre binaires. Pour simplifier l'écriture on utilise souvent en programmation (et particulièrement pour la programmation HTML des pages Internet) un système permettant d'exprimer la valeur d'un octet à l'aide de 2 caractères seulement au lieu de 8 : c'est la notation hexadécimale (qui n'est pas compréhensible directement par un ordinateur à qui un programme interpréteur va la traduire en notation binaire). LE SYSTÈME HEXADÉCIMAL OU SYSTÈME DE BASE 16 La logique reste la même que pour les systèmes de base 10 et 2. Le système hexadécimal compte en ''seizaines'' (d'où le qualificatif de Base 16) et en unités. Le système de base 16 devra donc utiliser 16 chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9, mais encore : a qui vaut 10 unités b qui vaut 11 unités c qui vaut 12 unités d qui vaut 13 unités e qui vaut 14 unités f qui vaut 15 unités Ainsi le nombre : 2 f c 5 s'interprète comme la somme, de droite à gauche, de :

5 unités = c (12 en décimal) seizaines soit 12×16 = f (15 en décimal) seizaines de seizaines soit 15×16×16 = 2 seizaines de seizaines de seizaines soit 2×16×16×16 = Total :

5 unités 192 unités 3840 unités 8192 unités –––––––––– 12229 unités

Notez que 16 º = 1, que 16 ¹ = 16, que 16 ² = 256, que 16 ³ = 4096, etc., et que donc : 2fc5 en notation hexadécimale = en notation décimale 5 × 16 º + 12 × 16 ¹ + 15 × 16 ² + 2 × 16 ³ = 12229 Dans cette notation les 256 valeurs que peut prendre un octet peuvent s'exprimer avec seulement deux caractères : – 00 en hexadécimal soit 0 en décimal – 01 en hexadécimal soit 1 en décimal – . . . . . . . . . . . . – 09 en hexadécimal soit 9 en décimal – 0a en hexadécimal soit 10 en décimal – . . . . . . . . . . . . – 0f en hexadécimal soit 15 en décimal – 10 en hexadécimal soit 16 en décimal (de droite à gauche : 0 unités et 1 seizaine) – . . . . . . . . . . . . – fe en hexadécimal soit 254 en décimal (14 unités et 15 seizaines) – ff en hexadécimal soit 255 en décimal (15 unités et 15 seizaines soit 15 + 15×16) pour afficher la table de conversion des nombres décimaux de 0 à 255 en nombre hexadécimaux. ET PENDANT CE TEMPS, EN 1453 ET MÊME BIEN AVANT... L'utilisation du mot grosse pour indiquer douze douzaines remonte selon le Petit Robert à 1453. Et relève du système de base 12. Et les Incas utilisaient déjà un système de base 20, par simple commodité : leur support d'écriture était la pierre taillée et en base 20 on peut par exemple exprimer le nombre 1.652.994.495 en seulement 7 caractères...